Question

3．已知：一次函数y=-x+b的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B与反比例函数$y=\frac{5}{x}（x＞0）$的图象交于点C、D，且$\frac{BD}{BA}=\frac{2}{3}$．
（1）求∠BAO的度数；
（2）求O到BC的距离．

Answer 1

分析 （1）在y=-x+b中，令y=0，则x=b，令x=0，y=b，求得OA=b，OB=b，得到tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=1，即可得到结论；
（2）过D作DE⊥x轴于E，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{OA}=\frac{DE}{OB}=\frac{AD}{AB}$，点D在一次函数y=-x+b的图象上，设D（m，-m+b），由已知条件得到$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，得到$\frac{b-m}{b}=\frac{1}{3}$，①，由点D反比例函数$y=\frac{5}{x}（x＞0）$的图象上，得到m（-m+b）=5，②，①，②联立方程组解得得到得到OA=OB=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，根据等腰直角三角形的性质得到结论．

解答 解：（1）在y=-x+b中，令y=0，则x=b，令x=0，y=b，
∴A（b，0），B（0，b），
∴OA=b，OB=b，
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=1，
∴∠BAO=45°；

（2）过D作DE⊥x轴于E，
∴DE∥OB，
∴△ADE∽△AOB，
∴$\frac{AE}{OA}=\frac{DE}{OB}=\frac{AD}{AB}$，
∵点D在一次函数y=-x+b的图象上，
∴设D（m，-m+b），
∵$\frac{BD}{BA}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{b-m}{b}=\frac{1}{3}$，①，
∵点D反比例函数$y=\frac{5}{x}（x＞0）$的图象上，
∴m（-m+b）=5，②，
①，②联立方程组解得m=±$\sqrt{10}$，
∵D在第一象限，
∴m=$\sqrt{10}$，
∴b=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴OA=OB=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=3$\sqrt{5}$，
∴O到BC的距离=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．