题目内容
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（-1，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC为等腰梯形，直接写出此时P点的坐标；
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大，求出此时P点的坐标．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC为等腰梯形，直接写出此时P点的坐标；
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大，求出此时P点的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）直接把A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，解方程组求得b=-2，c=-3，则二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
（2）由于抛物线为轴对称图形，要得到四边形ABPC为等腰梯形，只有PC∥AB，则点P与点C是抛物线上的对称点，可求得抛物线的对称轴为直线x=1，于是可得到点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．
（3）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，-
），则点P的纵坐标为-
，再把y=
代入y=x2-2x-3可求出对应x的值，然后确定满足条件的P点坐标．
（4）过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于△BPC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出△BPC的面积最大时对应的P点的坐标．
（2）由于抛物线为轴对称图形，要得到四边形ABPC为等腰梯形，只有PC∥AB，则点P与点C是抛物线上的对称点，可求得抛物线的对称轴为直线x=1，于是可得到点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．
（3）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，-
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（4）过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于△BPC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出△BPC的面积最大时对应的P点的坐标．
解答：解：（1）把A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c得
，
解得
，
∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
（2）如图1，∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，四边形ABPC为等腰梯形，
∴PC∥AB，
∴点P与点C是抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为直线x=-
=1，
∴点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．
（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，
则PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四边形POP′C为菱形，
∵C点坐标为（0，-3），
∴E点坐标为（0，-
），
∴点P的纵坐标为-
，
把y=-
代入y=x2-2x-3得x2-2x-3=-
，
解得x=
，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴x=
，
∴满足条件的点P的坐标为（
，-
）．
（4）如图3，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
易得，直线BC的解析式为y=x-3
则Q点的坐标为（x，x-3）；
S△BPC=S△BPQ+S△CPQ
=
QP•BF+
QP•OF
=
（-x2+3x）×3
=-
（x-
）2+
，
当x=
时，△BPC的面积最大，
此时P点的坐标为（
，-
）．
|
解得
|
∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
（2）如图1，∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，四边形ABPC为等腰梯形，
∴PC∥AB，
∴点P与点C是抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为直线x=-
| -2 |
| 2×1 |
∴点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．
（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，则PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四边形POP′C为菱形，
∵C点坐标为（0，-3），
∴E点坐标为（0，-
| 3 |
| 2 |
∴点P的纵坐标为-
| 3 |
| 2 |
把y=-
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解得x=
2±
| ||
| 2 |
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴x=
2+
| ||
| 2 |
∴满足条件的点P的坐标为（
2+
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（4）如图3，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3
则Q点的坐标为（x，x-3）；
S△BPC=S△BPQ+S△CPQ
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=-
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 27 |
| 8 |
当x=
| 3 |
| 2 |
此时P点的坐标为（
| 3 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
点评：本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x-
）2+
，抛物线的对称轴为x=-
，当a＞0，y最小值=
；当a＜0，y最大值=
；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特殊四边形的判定与性质以及勾股定理要熟练运用．同时考查了图形面积的求法等知识点．
| b |
| 2a |
| 4ac-b2 |
| 4a |
| b |
| 2a |
| 4ac-b2 |
| 4a |
| 4ac-b2 |
| 4a |
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