Question

2．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C
（1）求证：CT为⊙O的切线；
（2）若AD=2，TC=$\sqrt{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）要证明PQ是⊙O的切线只要证明OT⊥PQ即可；
（2）由已知可求得OM和AM的长，从而利用勾股定理求得OA的长．

解答 证明：（1）连接OT；
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC，
∴OT∥AC；
∵AC⊥TC，
∴OT⊥TC，
∴CT是⊙O的切线．

（2）解：过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD=$\frac{1}{2}$AD=1；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM=TC=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AOM中，OA=$\sqrt{A{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2，
∴⊙O的半径为2．

点评 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．