Question

2．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE=1：$\sqrt{7}$：3，求∠AED的度数；
（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，求CN的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形额等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；
（2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；
（3）由AB∥CD，得出$\frac{OM}{OD}=\frac{OA}{OC}=\frac{AM}{DC}$=$\frac{1}{2}$，求出DM，DO，再判断出△DFN∽△DCO，得到$\frac{DF}{DC}=\frac{DN}{DO}$，求出DN即可．

解答 （1）CE=AF； 
证明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°
∴∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE，
∴CE=AF，
（2）设DE=k，
∵DE：AE：CE=1：$\sqrt{7}$：3
∴AE=$\sqrt{7}$k，CE=AF=3k，
∴EF=$\sqrt{2}$k，
∵AE²+EF²=7k²+2k²=9k²，AF²=9k²，
即AE²+EF²⁼AF² 
∴△AEF为直角三角形，
∴∠BEF=90°
∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；
（3）∵M是AB中点，
∴MA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，
∵AB∥CD，
∴$\frac{OM}{OD}=\frac{OA}{OC}=\frac{AM}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△DAM中，DM=$\sqrt{A{D}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，
∴DO=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∵OF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴DF=$\sqrt{5}$，
∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，
∴△DFN∽△DCO，
∴$\frac{DF}{DC}=\frac{DN}{DO}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{4}=\frac{DN}{\frac{4\sqrt{5}}{3}}$，
∴DN=$\frac{5}{3}$，
∴CN=CD-DN=4-$\frac{5}{3}$=$\frac{7}{3}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理及其勾股定理的逆定理，判断△AEF为直角三角形是解本题的关键，也是难点．