Question

11．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．
（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；
（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；
（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图2，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E的数量关系；
（3）根据四边形内角和为360°，再根据（2）的结论，以及角平分线的定义即可求解．

解答 解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°；
（2）如图2，过O点作OF∥CD，
∵CD∥OE，
∴OF∥OE，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠EO′O=180°-∠BO′E，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E=360°-（∠OCD+∠BO′E）=120°，
∴∠OCD+∠BO′E=240°；
（3）∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCP=$\frac{1}{2}$∠OCD，
∴∠CPO′=360°-90°-120°-∠OCP
=150°-$\frac{1}{2}$∠OCD
=150°-$\frac{1}{2}$（240°-∠BO′E）
=30°+$\frac{1}{2}$α．

点评 此题考查了平行线的判定和性质，直角、周角的定义，角平分线的定义，关键是得到∠OCD、∠BO′E的数量关系．