Question

13．如图，点F是正方形ABCD边CD上的一个动点，BF的垂直平分线EM与对角线AC相交于点E，与BF相交于点M，连接BE、FE，EM=3，则△EBF的周长是（　　）

• A． 6+3$\sqrt{2}$
• B． 6+6$\sqrt{2}$
• C． 6-3$\sqrt{2}$
• D． 3+3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图作EG⊥BC于G，EH⊥CD于H，先证明△EGB≌△EHF，推出△BEF是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 解：如图作EG⊥BC于G，EH⊥CD于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵EG⊥BC，EH⊥CD，
∴EG=EH，
∵EM垂直平分BF，
∴EB=EF，
在Rt△EGB和Rt△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EF}\\{EG=EH}\end{array}\right.$，
∴△EGB≌△EHF，
∴∠BEG=∠FEH，
∴∠BEF=∠GEH，
∵∠EGC=∠GCH=∠EHC=90°，
∴∠GEH=90°，
∴∠BEF=90°，
∴EM=BM=MF=3，BE=EF=3$\sqrt{2}$，
∴△BEF的周长为6+6$\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本题看成正方形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．