Question

2．如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则∠CDE+∠ACD=（　　）

• A． 60°
• B． 75°
• C． 90°
• D． 105°

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质得到BC=2CE=$\sqrt{3}$，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到结论．

解答 解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，
∴BC=2DE=$\sqrt{3}$，
∵AB=2，AC=1，
∴AC²+BC²=1²+（$\sqrt{3}$）²=4=2²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴∠DCE=60°，
∵DE=CE，
∴∠CDE=60°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
故选C．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．