Question

10．如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，连接CE，作射线DE，若点F为矩形ABCD边上任意一点，沿EF将矩形折叠，使点A恰好落在射线DE上，已知AD=2，CD=4．则DF=4-2$\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分两种情形：①当EF平分∠AED时，点A恰好落在射线DE上，作FH⊥DE于H．②当EF′平分∠DEB时，点A恰好落在射线DE上，分别求解即可．

解答 解：如图，①当EF平分∠AED时，点A恰好落在射线DE上，作FH⊥DE于H．

∵AD=AE=2，∠A=90°，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴DH=FA=AF，设AF=FH=DH=x，则DF=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=2，
∴x=2$\sqrt{2}$-2，
∴DF=4-2$\sqrt{2}$．
②当EF′平分∠DEB时，点A恰好落在射线DE上，
∵CD∥AB，
∴∠DF′E=∠F′EB=∠DEF′，
∴DF′=DE=3$\sqrt{2}$，
综上所述，满足条件的DF的长为4-2$\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．