Question

13．如图，平行四边形ABCD中，F是AD边上一点，延长BF、CD交于点E．
（1）求证：△ABF∽△DEF；
（2）若$DE=\frac{1}{2}CD$，S_△DEF=2，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形对角相等可得∠A=∠D，对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠ABF=∠E，然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明．
（2）由$DE=\frac{1}{2}CD$，可知$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{EC}=\frac{1}{3}$，易知△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出△ABF和△BCE的面积即可求出平行四边形ABCD的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠D，AB∥CD，
∴∠ABF=∠E，
在△ABF和△DEF中，
∠A=∠D，∠ABF=∠E，
∴△ABF∽△CEB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，
∵$DE=\frac{1}{2}CD$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{EC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABF}}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△CEB}}$=$\frac{1}{9}$
∵S_△DEF=2，
∴S_△ABF=8，S_△CEB=18，
∴S_{四边形BCDF}=S_△CEB-S_△DEF=18-2=16．
∴S_{平行四边形ABCD}=S_△ABF+S_{四边形BCDF}=8+16=24．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．