Question

8．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有①②④．（在横线上填上你认为所有正确答案的序号）
①∠ACD=∠B 
②$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$ 
③$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$ 
④$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$．

Answer 1

分析 ①根据三角形内角和，求出有一个角是直角即可；②证明△CDB∽△ACD，得到∠ACD=∠B，从而∠CAD+∠B=90°，所以△ABC是直角三角形；③不能证明△ABC是直角三角形；④证明△CAD∽△BAC，从而∠ACB=∠ADC=90°．

解答 解：①在△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠ACD=∠B，
∴∠CAD+∠B=90°，
∴在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②在△CDB与△ADC中，
$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$，
∠BDC=∠ADC=90°，
∴△CDB∽△ACD（SAS），
∴∠ACD=∠B，
∴∠CAD+∠B=90°，
∴在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$，不能证明△ABC是直角三角形；
④$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，∠A=∠A，
∴△CAD∽△BAC，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：①②④．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，熟悉直角三角形的判定方法是解决问题的关键．