Question

4．如图，等边△ABC，∠BAC平分线交y轴于点M，C（0，6）．
（1）求M点坐标（如图①）．
（2）如图②，E为x轴上任一点，以CE为边在第一象限内作等边△CEF，FB的延长线交y轴于点G，求OG的长．
（3）如图③，在（1）条件下，若一个60°角的直角三角板绕B点旋转，求证：MD+MA=MN．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质及30°的角所对的直角边为斜边的一半可得出结论；
（2）利用等边三角形的性质证得△BCF≌△ACE，△ACO≌△BGO，易得结论；
（3）在MN上截取ME=MD，连DE，MB，得等边△MDE，证得△DMB≌△DEN，由AM=BM得出结论．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，AM为∠BAC的平分线，OC⊥AB，
∴AM=CM，∠MAO=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}AM$
∴3OM=6，OM=2，
∴M（0，2）；

（2）∵△ABC与△CEF为等边三角形，
∴AC=AB，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACB+∠BCE=∠ECF+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCF，
在△BCF与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACE=∠BCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠CBF=∠CAE=60°，
∴∠OBG=180°-60°×2=60°，
在△ACO与△BGO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠BOG}\\{AO=BO}\\{∠CAO=∠BGO=60°}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△BGO，
∴OG=OC=6；

（3）如图，在MN上截取ME=MD，连DE，MB，得等边△MDE，
∵∠DMN=∠DBN=60°，
∴D、M、B、N四点共圆，
∴∠NDB=∠NMB=60°，
∴∠MDE=BDN=60°，
∴∠MDE-∠BDE=∠BDN-∠BDE，
∴∠MDB=∠EDN，
在△DMB与△DEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DE}\\{∠MDB=∠EDN}\\{DB=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMB≌△DEN（SAS），
∴MB=EN，
∵OM⊥AB，AO=BO，
∴AM=BM，
∴AM=EN，
∴MN=AE=AM+ME=AM+DM．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，构建全等三角形是解答此题的关键．