Question

如图，正方形ABCD中，点E从点A出发沿着AD向D运动，（点E不与点A，点D重合）同时点F从点D出发沿着线段DC向C运动，（点F不与点D，点C重合）点E与F点运动速度相同，当点E停止运动时，另一动点F随之停止运动，设BE与AF相交于点P，连接PC请研究：
（1）AF=BE，AF⊥BE；
（2）当点E运动到AD中点位置时：
①PA：PB的值是多少？②PC和BC又怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）根据题意很容易证得△BAE≌△ADF，即可得到AF=BE，利用正方形内角为90°，得出AF⊥DE．
（2）要求两条线段的关系，需要把两者放入一直角三角形中，利用三角函数求解．根据题意可知此时AF⊥BE，又有中点的关系，可以得出tan∠2=

1

2

，由∠1=∠2，可以求解．
（3）延长AF交BC的延长线于点G，可以得出△ADF≌△GCF，进而得出CG=AD，通过线段的转换可以得出BC=

1

2

BG，根据题意可以得出PC=

1

2

BG，即可以得出结论．

解答：（1）证明：∵E在AD边上（不与A、D重合），点F在DC边上（不与D、C重合）．
又∵点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动，
∴AE=DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠D=90°，
在△BAE和△ADF中，

AE=DE ∠BAE=∠ADF=90° AB=AD

，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°即∠APB=90°
∴AF⊥BE．

（2）解：由（1）知当点E运动到AD中点时，点F也运动到DC中点，此时就有AF⊥BE．
∵F是CD的中点，
∴DF=

1

2

CD，
∵AD=CD，
∴DF=

1

2

AD，
∵∠1=∠2，
∴tan∠1=tan∠2
在Rt△ADF中，tan∠2=

DF

AD

=

1

2

，
∴在Rt△APB中，tan∠1=
∴PA：PB的值是1：2．

（3）PC=BC．
证明：延长AF交BC的延长线于点G，
在△ADF和△GCF中

∠D=∠DCG=90° DF=CF ∠AFD=∠GFC

，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴CG=AD，
∵BC=AD，
∴CG=BC=

1

2

BG，
由（1）知AF⊥BE，
∴∠BPG=90°，
∴△BPG为直角三角形
∴PC=

1

2

BG，
∵BC=

1

2

BG，
∴PC=BC．

点评：本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，对学生要求有比较高的读图能力，同时本题也是探求性试题，做这类题前要求大胆的假设，根据假设再去证明．需要在平时做题中培养这种能力．