Question

8．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的BC边上的高为2，则DE²+2DE•DF+DF²=4．

Answer 1

分析 作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=2，根据S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC即可得出DE+DF=AG=2cm．

解答 解：作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴AG=2cm，
连接AD，
∵S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$BC•AG，
∵AB=AC=BC=2，
∴DE+DF=AG=2cm，
∴DE²+2DE•DF+DF²=（DE+DF）²=4，
故答案为4

点评 本题考查了等边三角形的性质，解直角三角函数以及三角形面积等，根据S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC即可得出DE+DF=AG是解题的关键．