Question

6．如图，n+1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁，△B₃D₂C₂的面积为S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面积为S_n，则S_n=（　　）（用含n的式子表示）

• A． $\frac{\sqrt{3}n}{n+1}$
• B． $\frac{\sqrt{2}n}{2n+2}$
• C． $\frac{n}{2n+2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}n}{{n}^{2}+2n}$

Answer 1

分析 连接B₁、B₂、B₃、B₄点，显然它们共线且平行于AC₁，依题意可知△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，知道△B₁B₂D₁与△C₁AD₁相似，求出相似比，根据三角形面积公式可得出S₁，同理：B₂B₃：AC₂=1：2，所以B₂D₂：D₂C2=1：2，所以S₂=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，同样的道理，即可求出S₃，S₄…S_n．

解答 解：∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，
∴S_△AB1C1=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
连接B₁、B₂、B₃、B₄点，显然它们共线且平行于AC₁
∵∠B₁C₁B₂=90°
∴A₁B₁∥B₂C₁
∴△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，且边长=1，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
同理：B₃B₄：AC₃=1：3，
∴B₃D₃：D₃C₃=1：3，
∴S₃=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
∴S₄=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
…
∴S_n=$\frac{n}{2（n+1）}$
故选C．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义和性质、三角形的面公式等知识点、本题关键在于作好辅助线，得到相似三角形，求出相似比，就很容易得出答案了，意在提高同学们总结归纳的能力．