Question

13．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，动点E在边BC上，与点B、C不重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F，设DF=x，EC=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当CF=1，求EC的长．

Answer 1

分析 （1）易证△ADF∽△DCE，然后运用相似三角形的性质即可得到y与x的关系，然后根据y的范围就可得到x的范围；
（2）由于点F的位置不确定，需分点F在线段DC及点F在线段DC的延长线上两种情况进行讨论，然后利用y与x的关系即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=2，∠ADC=∠BCD=90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=∠EDC=90°-∠DFA，
∴△ADF∽△DCE，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{DF}{CE}$，
∴$\frac{4}{2}=\frac{x}{y}$，即y=$\frac{1}{2}$x．
∵点E在线段BC上，与点B、C不重合，
∴0＜y＜4，∴0＜$\frac{1}{2}$x＜4，即0＜x＜8，
∴y=$\frac{1}{2}$x，（0＜x＜8）；

（2）①当点F线段DC上时，
∵CF=1，
∴DF=x=2-1=1，此时CE=y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$；
②当点F线段DC延长线上时，
∵CF=1，
∴DF=x=2+1=3，此时CE=y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$；
∴当CF=1时，EC的长为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，对运算能力的要求比较高，当点的位置不确定、相似三角形的对应关系不确定时，常常需要分类讨论，避免出现漏解的现象．