Question

2．如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）如图，△OAB是抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”，当OA=OB时，求b的值；
（2）若抛物线y=a（x-2）²+b（a＞0，b＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，求a，b满足的关系．

Answer 1

分析 （1）由△OAB是抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”，当OA=OB时，易得△AOB是等边三角形，即可得点A的坐标为：（$\frac{b}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），继而求得答案；
（2）由于抛物线三角形是等腰三角形，则得到本题中的“物线三角形”是等腰直角三角形，再确定抛物线的顶点坐标为（2，b），即可求得抛物线与x轴两交点之间的线段长，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可得到a与b的关系；

解答 解：（1）∵△OAB是抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”，
∴OA=AB，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∵抛物线y=-x²+bx（b＞0）与x轴交于点（0，0），（b，0），
∴OA=OB=b，
∴点A的坐标为：（$\frac{b}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），
∴抛物线解析式为：y=-（x-$\frac{b}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴-x²+bx=-（x-$\frac{b}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$b-$\frac{1}{4}$b²=0，
解得：b=2$\sqrt{3}$；

（2）∵y=a（x-2）²+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，
∴此“物线三角形”是等腰直角三角形，
抛物线的顶点坐标为（2，b），
把y=0代入y=a（x-2）²+b得a（x-2）²+b=0，解得x=2±$\sqrt{-\frac{b}{a}}$，
∴抛物线y=a（x-2）²+b（ab＜0）与x轴两交点的坐标为（2+$\sqrt{-\frac{b}{a}}$，0），（2-$\sqrt{-\frac{b}{a}}$，0），
∴抛物线y=a（x-2）²+b（ab＜0）与x轴两交点之间的线段长=2$\sqrt{-\frac{b}{a}}$，
∴|b|=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{-\frac{b}{a}}$，
∴b²=-$\frac{b}{a}$，
∴ab=-1．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了抛物线与x轴的交点问题、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．注意根据题意得到抛物线三角形分别是等边三角形与等腰直角三角形是解此题的关键．