Question

8．如图，已知正方形ABCD的边长是4cm，点E是CD的中点，连结AE，点M是AE的中点，过点M任意作直线分别与边AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP=$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$cm．

Answer 1

分析 如图，过点P作PH⊥BC交BC于H，先证明△PQH≌△AED推出∠AMP=90°，再利用△MAP∽△DAE，得$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$，求出AP，根据对称性求出AP′即可解决问题．

解答 解：如图，过点P作PH⊥BC交BC于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠C=∠B=∠BAC=90°，
∵∠D=∠C=∠DPH=90°，
∴四边形PDCH是矩形，
∴PH=CD，
在△PQH和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{PQ=AE}\\{PH=AD}\end{array}\right.$，
∴△PQH≌△AED，
∴∠DAE=∠QPH，
∵∠QPH+∠APM=90°，
∴∠DAE+∠APM=90°，
∴∠AMP=90°，
∵∠MAP=∠DAE，
∴△MAP∽△DAE，
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$，
∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AM=ME=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AP}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴AP=$\frac{5}{2}$，PD=$\frac{3}{2}$，
根据对称性可得AP′=PD=$\frac{3}{2}$．
故答案为$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．