Question

20．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax²+bx+c过点D，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）说明ED是⊙P的切线，若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线上吗？请说明理由；
（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解直角三角形得到D（0，2$\sqrt{3}$），设抛物线的解析式为y=（x+4）（x-2），把D（0，2$\sqrt{3}$）即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠CDO，于是得到CD为⊙P的直径，根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线；E点的对应点E′不会落在抛物线上，根据相似三角形的想知道的DE=3$\sqrt{3}$，根据旋转的想知道的E点的对应点在射线DC上，而点D，C在抛物线上，于是得到点E′不能在抛物线上；
（3）根据二次函数的解析式得到M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$），由B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），当BM为平行四边形BDMN的对角线时，当DM为平行四边形BDMN的对角线时，当BD为平行四边形BDMN的对角线时，根据平移的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵C点坐标为（2，0），BC=6，
∴B（-4，0），
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{OC}$，
∴OD=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴D（0，2$\sqrt{3}$），
设抛物线的解析式为y=（x+4）（x-2），
把D（0，2$\sqrt{3}$）代入得a•4•（-2）=2$\sqrt{3}$，
解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+4）（x-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴$\frac{AE}{OC}=\frac{3}{2}$，$\frac{AD}{CD}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AE}{OC}=\frac{AD}{CD}$，
∵∠DAE=∠DCB，
∴△AED∽△DCB，
∴∠ADE=∠CDO，
∵∠ADE+∠ODE=90°，
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD为⊙P的直径，
∴ED是⊙P的切线；
E点的对应点E′不会落在抛物线上，
理由：∵△AED∽△COD，
∴$\frac{DE}{OD}=\frac{AE}{OC}$，
即$\frac{DE}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3}{2}$，
解得：DE=3$\sqrt{3}$，
∵∠CDE=90°，DE＞DC，
∴将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点在射线DC上，而点D，C在抛物线上，
∴点E′不能在抛物线上；
（3）存在，∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$），
∵B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），
如图，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，
点D向左平移4个单位，再向下平移2$\sqrt{3}$个单位得到B，
则点M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）向左平移4个单位，再向下平移2$\sqrt{3}$个单位得到N₁（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
当DM为平行四边形BDMN的对角线时，
点B向右平移3个单位，再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到D，
则点M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）向右平移4个单位，再向上平移2$\sqrt{3}$个单位得到N₂（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）；
当BD为平行四边形BDMN的对角线时，
点M向右平移1个单位，再向下平移$\frac{\sqrt{3}}{4}$个单位得到D，
则点B（-4，0）向右平移1个单位，再向下平移$\frac{\sqrt{3}}{4}$个单位得到N₃（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
综上所述，以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，点N的坐标为（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）或（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）或（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 本题考查了求抛物线的解析式，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，切线的判定，正确的作出图形是解题的关键．