Question

11．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AF=5，cos∠BCD=$\frac{3}{4}$．
（1）求⊙O的半径；
（2）求弦CD的长．

Answer 1

分析 （1）由切线性质知∠ABF=90°，根据∠BCD=∠BAD知cos∠BCD=cos∠BAF=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{3}{4}$，可得AB=$\frac{3}{4}$AF=$\frac{15}{4}$，从而得出答案；
（2）连结BD，解直角三角形分别得到AD=ABcos∠BAD=$\frac{45}{16}$、BF=$\frac{5\sqrt{7}}{4}$、sin∠BAF=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，由ED=ADsin∠EAD可得答案．

解答 解：（1）∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴在Rt△ABF中，cos∠BCD=cos∠BAF=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{3}{4}$，
∴AB=$\frac{3}{4}$AF=$\frac{3}{4}$×5=$\frac{15}{4}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{8}$；

（2）连结BD，

在Rt△ABD中，AD=ABcos∠BAD=$\frac{15}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{45}{16}$，
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，sin∠BAF=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\frac{5\sqrt{7}}{4}}{5}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴ED=ADsin∠EAD=$\frac{45}{16}$×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{45}{64}$$\sqrt{7}$，CD=2ED=$\frac{45}{32}$$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查切线的性质、勾股定理、垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质和垂径定理及解直角三角形是解题的关键．