Question

12．如图，半圆O的直径AC=2$\sqrt{2}$，点B为半圆的中点，点D在弦AB上，连结CD，作BF⊥CD于点E，交AC于点F，连结DF，当△BCE和△DEF相似时，BD的长为2$\sqrt{2}$-2或$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 分两种情形讨论：①当∠DFE=∠BCE时，可以证明DB=DC，BC=CF，∠DFC=∠DBC=90°即可解决问题．②当∠FDE=∠BCE时，可以证明DF∥BC、△BDF∽△CBD得到$\frac{BD}{CB}=\frac{DF}{BD}$列出方程解决问题．

解答 解：①如图1，当∠DFE=∠BCE时，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△BEC，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠DFE，
∴DB=DF，
∵DE⊥BF，
∴EB=EF，
∴BC=CF，
∵点B为半圆的中点，
∴AB=BC，
∴∠A=45°，
∵∠DBF=∠DFB，∠CBF=∠CFB，∠DBF+∠CBF=90°，
∴∠DFB+∠CFB=90°，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠A=∠ADF=45°，
∴AF=DF=BD，
在RT$△ABC\\;中$中，∵AC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=2，
∴FC=2，
∴BD=AF=AC-FC=2$\sqrt{2}$-2，
②如图2，当∠FDE=∠BCE时，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△CEB，DF∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠FDE，
∵∠BDF=∠DBC=90°，∠DBF=∠BCD，
∴△BDF∽△CBD，
∴$\frac{BD}{CB}=\frac{DF}{BD}$，
∵∠A=45°，∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴AD=DF，
设BD=x，由（1）可知：AB=BC=2，AD=DF=2-x，
∴$\frac{x}{2}=\frac{2-x}{x}$，整理得：x²+2x-4=0，
解得：x=-1+$\sqrt{5}$（或-1-$\sqrt{5}$舍弃）
∴BD=$\sqrt{5}$-1．
故答案为2$\sqrt{2}$-2或$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，学会分类讨论是解决问题的关键，在解题中用方程的思想解决问题．