Question

13．对于二次函数y=x²-2mx+3（m＞0），有下列说法：
①如果m=2，则y有最小值-1；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-9，则$m=2\sqrt{3}$；
④如果当x=1时的函数值与x=2015时的函数值相等，则当x=2016时的函数值为3．
其中正确的说法是①③④．（把你认为正确的结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①把m=2代入，利用配方法求顶点坐标；
②利用对称轴和增减性的性质可知，对称轴一定是x=1的右侧；
③根据平移原则：左⇒+，右⇒一，得出解析式，并利用最值列式；
④根据已知先求m的值，写出解析式，把x=2016代入求y．

解答 解：①当m=2时，二次函数为y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∵a=1＞0，
∴当x=2时，y有最小值为-1；故①正确；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则-$\frac{-2m}{2×1}$=m≥1；故②错误；
③y=x²-2mx+3=（x-m）²-m²+3，
将它的图象向左平移3个单位后的函数：y=（x-m+3）²-m²+3，
则-m²+3=-9，m=±2$\sqrt{3}$，
∵m＞0，
∴m=2$\sqrt{3}$，故③正确；
④由当x=1时的函数值与x=2015时的函数值相等得：1²-2m+3=2015²-4030m+3，m=1008，
∴当x=2016时，y=2016²-2×2016×1008+3=3，故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了二次函数的性质，是常考题型；要注意每一个条件都只能在本选项中运用，各选项中根据自己的已知条件求出相应的m的值．