Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA=

3

，∠ACB=60°，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,线段垂直平分线的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）连结OB，由OA=OB，得∠OAB=∠OBA，再根据PA=PB，得∠PAB=∠PBA，从而得出∠PAO=∠PBO，由PA是⊙O的切线可推得∠PBO=90°，即OB⊥PB，所以PB是⊙O的切线；
（2）连结OP，根据PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，再由OA=OB，则点O在线段AB的垂直平分线上，从而得出OP垂直平分线段AB，根据BC⊥AB，得出PO∥BC，则∠AOP=∠ACB=60°，在Rt△APO中，利用tan∠AOP=

AP

AO

，求出AP，即可得出答案．

解答：证明：（1）连结OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，即∠PAO=∠PBO，
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
又∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）连结OP，
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分线段AB，
又∵BC⊥AB，
∴PO∥BC，
∴∠AOP=∠ACB=60°，
∵在Rt△APO中，tan∠AOP=

AP

AO

=tan 60°=

3

，AP=

3

，
∴AO=1，
∴⊙O的半径为1．

点评：本题考查了切线的判定和性质、线段的垂直平分线以及解直角三角形的综合运用．