题目内容
已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C、D两点的坐标分别为（4，0）、（0，3），现有两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，速度为每秒1个单位长度，点Q沿折线CBA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．
（1）求AD、BC之间的距离和sin∠DAB的值；
（2）设四边形CDPQ的面积为S．
①求S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；
②若存在某一时刻，点P、Q同时在反比例函数y=
的图象上，求此时S的值．
（1）求AD、BC之间的距离和sin∠DAB的值；
（2）设四边形CDPQ的面积为S．
①求S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；
②若存在某一时刻，点P、Q同时在反比例函数y=
| k |
| x |
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）首先过点B作BH⊥AD于点H，由直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C、D两点的坐标分别为（4，0）、（0，3），可求得菱形的边长与面积，继而求得高；则可求得sin∠DAB的值；
（2）①分别从当0≤t≤5时与当5＜t≤10时，去分析求解即可求得答案；
②首先根据题意求得t的值，然后代入①中的面积公式，即可求得答案．
（2）①分别从当0≤t≤5时与当5＜t≤10时，去分析求解即可求得答案；
②首先根据题意求得t的值，然后代入①中的面积公式，即可求得答案．
解答：
解：（1）过点B作BH⊥AD于点H，
∵C、D两点的坐标分别为（4，0）、（0，3），
∴OC=4，OD=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=8，BD=6，AC⊥BD，
∴AB=AD=CD=
=5，
则S菱形ABCD=AD•BH=
AC•BD，
∴5BH=
×6×8=24，
解得：BH=4.8；
∴sin∠DAB=
=
；
（2）①如图，当0≤t≤5时，
根据题意得：AP=t，CQ=2t，
则PD=5-t，
∴S梯形CDPQ=
（PD+CQ）•BH=
×（5-t+2t）×4.8=2.4t+12；
当5＜t≤10时，过点Q作QN⊥AD，并反向延长交BC于点M，
∵AD∥BC，
∴QM⊥BC，
根据题意得：AP=t，BQ=2t-5，
则AQ=AB-BQ=10-2t，
∴QN=AQ•sin∠DAB=
（10-2t），QM=BQ•sin∠QBM=
（2t-5），
∴S四边形CDPQ=S菱形ABCD-S△APQ-S△BCQ=24-
AP•QN-
BC•QM=24-
×
×t×（10-2t）-
×5×
（2t-5）=
t2-
t+36；
②若点P、Q同时在反比例函数y=
的图象上，则需P与Q分别位于二，四象限，
∵点P的坐标为：（
t-4，
t），点Q（4-
t，-
t）；
∴
t×（
t-4）=-
t×（4-
t），
解得：t=
或t=0（舍去），
∴S=2.4t+12=2.4×
+12=16．
解：（1）过点B作BH⊥AD于点H，∵C、D两点的坐标分别为（4，0）、（0，3），
∴OC=4，OD=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=8，BD=6，AC⊥BD，
∴AB=AD=CD=
| OC2+OD2 |
则S菱形ABCD=AD•BH=
| 1 |
| 2 |
∴5BH=
| 1 |
| 2 |
解得：BH=4.8；
∴sin∠DAB=
| BH |
| AB |
| 24 |
| 25 |
（2）①如图，当0≤t≤5时，
根据题意得：AP=t，CQ=2t，
则PD=5-t，
∴S梯形CDPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当5＜t≤10时，过点Q作QN⊥AD，并反向延长交BC于点M，
∵AD∥BC，
∴QM⊥BC，
根据题意得：AP=t，BQ=2t-5，
则AQ=AB-BQ=10-2t，
∴QN=AQ•sin∠DAB=
| 24 |
| 25 |
| 24 |
| 25 |
∴S四边形CDPQ=S菱形ABCD-S△APQ-S△BCQ=24-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 25 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 25 |
| 24 |
| 25 |
| 48 |
| 5 |
②若点P、Q同时在反比例函数y=
| k |
| x |
∵点P的坐标为：（
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
∴
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
解得：t=
| 5 |
| 3 |
∴S=2.4t+12=2.4×
| 5 |
| 3 |
点评：此题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、勾股定理、三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
平行四边形的对角线（ ）
| A、相等 | B、不相等 |
| C、互相平分 | D、互相垂直 |
如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．
如图，△ABC内接于⊙O，点D在弧BC上，过点D作DE∥BC．交直线AB于点E，连接AD交BC于点F，连接BD，若∠ADB=∠E．
如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．