题目内容
16．梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3，CD=4，BC=5，直线MN从AD出发，始终保持与AD平行，并以每秒1个单位的速度向BC移动，交AB于M，交CD于N，同时点P从点C出发，沿CB方向以每秒2个单位速度向点B移动，当P移动到B时，停止运动，同时直线MN也停止运动，设移动时间为t秒，△PMN的面积为S．（1）线段AB的长度是2$\sqrt{5}$；当t=$\frac{4}{5}$时，PN∥AB．
（2）求面积S与时间t的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t使得△PMN的面积是梯形ABCD面积的四分之一？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t使得∠MPN是直角？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）作AE⊥BC，垂足为E，交MN于点F，得出四边形AECD是矩形，求得AE=4，BE=5-3=2，利用勾股定理求得AB；利用PN∥AB，得出△CPN∽△ABE，建立方程求出t的值；
（2）由△AMF∽△ABE，得到MN，CN=4-t，然后根据三角形面积公式求解；
（3）当△PEF的面积是梯形面积的$\frac{1}{4}$时，根据（2）的结论得到-$\frac{1}{4}$t2-$\frac{1}{2}$t+6=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×（3+5）×4，然后解一元二次方程即可得到满足条件的t的值；
（4）假设∠MPN是直角，由勾股定理求得PN=$\sqrt{5{t}^{2}-8t+16}$，再利用△PNC∽△PMN，利用性质得出对应边成比例联立方程，方程有根，则成立，无根不成立．
解答 解：（1）如图，
作AE⊥BC，垂足为E，交MN于点F，
则AE=CD=4，BE=5-3=2，
AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
∵DN=t，PC=2t，
∴NC=DC-DN=4-t，BP=BC-PC=5-2t，
∵PN∥AB，
∴△CPN∽△ABE，
∴$\frac{CP}{BE}$=$\frac{CN}{AE}$，
即$\frac{2t}{2}$=$\frac{4-t}{4}$，
解得t=$\frac{4}{5}$，
即当t=$\frac{4}{5}$时，使PE∥CD；
（2）∵MN∥BC，
∴$\frac{MF}{BE}$=$\frac{AF}{AE}$，
即$\frac{MF}{2}$=$\frac{t}{4}$，MF=$\frac{1}{2}$t，
∴MN=$\frac{1}{2}$t+3，
CN=4-t，
∴s=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$t+3）（4-t）
=-$\frac{1}{4}$t2-$\frac{1}{2}$t+6（0≤t≤2.5）；
（3）存在．
当△PMN的面积是梯形面积的$\frac{1}{4}$时，则-$\frac{1}{4}$t2-$\frac{1}{2}$t+6=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×（3+5）×4，
整理得t2+2t-8=0，
解得t1=2，t2=-4（舍去），
所以存在t=2，使△PMN的面积是梯形面积的$\frac{1}{4}$．
（4）不存在某一时刻t使得∠MPN是直角．
假设∠MPN是直角．
由勾股定理得PN=$\sqrt{C{P}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{5{t}^{2}-8t+16}$，
∵MN∥BC，
∴∠MNP=∠NPC，∠MPN=∠C，
∴△PNC∽△PMN，
∴$\frac{PC}{PN}$=$\frac{PN}{MN}$，
∴5t2-8t+16=2t（$\frac{1}{2}$t+3），
整理得2t2-7t+8=0，
△=72-4×2×8＜0，此方程无解，
∴假设不成立，
也就是不存在某一时刻t使得∠MPN是直角．
点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质、三角形相似的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的解的判定；会利用相似比和三角形面积公式进行计算．
已知：如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°，求∠C、∠DAE的度数．
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，D是垂足，求证：△ACD∽△ABC．
如图，每个小正方形边长为1cm，