Question

1．已知，FH是⊙O的直径，弦AB⊥FH于G，过AB的延长线上一点C作⊙O的切线交HF于E，切点为点D，连接AF、AD．
（1）求证：∠DAF=$\frac{1}{2}$∠C；
（2）若AB=6，GH=$\frac{3}{2}$，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，先利用切线的性质得∠ODC=90°，则根据四边形的内角和得到∠C+∠DOG=180°，再利用等角的补角相等得到∠DOF=∠C，然后根据圆周角定理可得到结论；
（2）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，利用垂径定理得到AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=3，再根据勾股定理得到在（r-$\frac{3}{2}$）²+3²=r²，解得r=$\frac{15}{4}$，所以FG=FH-OG=6，然后在Rt△AFG中利用勾股定理可计算出AF．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵CD为切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∵OG⊥AB，
∴∠OGC=90°，
∴∠C+∠DOG=180°，
而∠DOF+∠DOG=180°，
∴∠DOF=∠C，
∵∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DOF，
∴∠DAF=$\frac{1}{2}$∠C；

（2）解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，
∵OG⊥AB，
∴AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=3，
在Rt△OGA中，OG=r-$\frac{3}{2}$，OA=r，
∴（r-$\frac{3}{2}$）²+3²=r²，解得r=$\frac{15}{4}$，
∴FG=FH-OG=$\frac{15}{4}$×2-$\frac{3}{2}$=6，
在Rt△AFG中，AF=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．