Question

13．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（-4，0）、B（0，3），抛物线y=-x²+2x+1与y轴交于点C．
（1）求直线y=kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y=-x²+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=-x²+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．

Answer 1

分析 （1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
（2）过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则可证明△PHQ∽△BAO，设H（m，$\frac{3}{4}$m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；
（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′点的坐标，利用（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．

解答 解：
（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3；
（2）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，

则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，
∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，
∴△PQH∽△BOA，
∴$\frac{PQ}{OB}$=$\frac{HQ}{OA}$=$\frac{PH}{AB}$，
设H（m，$\frac{3}{4}$m+3），则PQ=x-m，HQ=$\frac{3}{4}$m+3-（-x²+2x+1），
∵A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，
∴$\frac{x-m}{3}$=$\frac{\frac{3}{4}m+3-（-{x}^{2}+2x+1）}{4}$=$\frac{d}{5}$，
整理消去m可得d=$\frac{4}{5}$x²-x+$\frac{8}{5}$=$\frac{4}{5}$（x-$\frac{5}{8}$）²+$\frac{103}{80}$，
∴d与x的函数关系式为d=$\frac{4}{5}$（x-$\frac{5}{8}$）²+$\frac{103}{80}$，
∵$\frac{4}{5}$＞0，
∴当x=$\frac{5}{8}$时，d有最小值，此时y=-（$\frac{5}{8}$）²+2×$\frac{5}{8}$+1=$\frac{119}{64}$，
∴当d取得最小值时P点坐标为（$\frac{5}{8}$，$\frac{119}{64}$）；

（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，

∴CE+EF=C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
由（2）可知当x=2时，d=$\frac{4}{5}$×（2-$\frac{5}{8}$）²+$\frac{103}{80}$=$\frac{14}{5}$，
即CE+EF的最小值为$\frac{14}{5}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、轴对称的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造相似三角形是解题的关键，在（3）中确定出E点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．