Question

已知抛物线y=x²+（k-2）x+1的顶点为M，与x轴交于A（a，0）、B（b，0）两点，且k²-（a²+ka+1）•（b²+kb+1）=0，
（1）求k的值；
（2）问抛物线上是否存在点N，使△ABN的面积为4

3

？若存在，求点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式求得（a²+ka+1）、（b²+kb+1）的值，由根与系数的关系求得ab=1．所以将其代入k²-（a²+ka+1）•（b²+kb+1）=0来求k的值；
（2）利用三角形的面积公式得到N点的纵坐标，然后将其代入函数解析式来求其横坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+（k-2）x+1与x轴有两个交点，
∴（k-2）²-4＞0，
∴k＞4或k＜0．
∵A（a，0）、B（b，0）在抛物线y=x²+（k-2）x+1上，
∴a²+（k-2）a+1=0，b²+（k-2）b+1=0，ab=1，
∴a²+ka+1=2a，b²+kb+1=2b，
∴由k²-（a²+ka+1）•（b²+kb+1）=0知，k²-4ab=k²-4=0，
解得 k=-2（舍去正值），即k的值是-2；

（2）存在．理由如下：
由（1）知，k=-2，则该抛物线的解析式为：y=x²-4x+1．
设点N的坐标为（t，h）．
∵A（a，0）、B（b，0）在抛物线y=x²+（k-2）x+1上，
∴a+b=4，ab=1，
∴|a-b|=

(a+b)2-4ab

=

16-4

=2

3

，
即AB=2

3

．
∵△ABN的面积为4

3

，
∴

1

2

AB×|h|=4

3

．即

1

2

×2

3

×|h|=4

3

．
解得|h|=4．
则x²-4x+1=4，
解得 x₁=2+

7

，x₂=2-

7

，
∴点N的坐标是（2+

7

，4），（2-

7

，4）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时利用了根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式等知识点．