Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=$4\sqrt{3}$，M是边BC的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P从点B出发沿射线BA以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度运动，同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）①以图1为例，求证：△PMB∽△QNM；
②在图2中，当动点P运动到BA的延长线上时，请画出满足条件的图形，并判断①的结论是否成立（不再证明）？
（2）求动点Q的运动速度；
（3）连接PQ，探求BP²，PQ²，CQ²三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．

Answer 1

分析 （1）①通过垂直的定义、直角三角形中的两个锐角互余以及等量代换，可以证得△PBM与△QNM中的两个角对应相等，所以这两个三角形一定相似；
②根据题意画出图形，与①的方法类似证明即可；
（2）根据△PBM∽△QNM的对应边成比例可以求得NQ的长，即Q一分钟移动的距离，即点Q的速度；
（3）PQ²=BP²+CQ²．作辅助线延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD构建平行四边形BDCQ．根据平行四边形的对边平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²；最后利用线段垂直平分线的性质知PQ=PD，所以由等量代换证得该结论．

解答 （1）证明：①△PBM∽△QNM．
理由如下：如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN，
∵∠PBM+∠C=90°，QNM+∠C=90°，
∴∠PBM=∠QNM，
∴△PBM∽△QNM；
②，①的结论成立，证明方法与①相同；
（2）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8$\sqrt{3}$cm．
又∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4$\sqrt{3}$cm．
∵∠C=30°，
∴MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CM=4cm；
①设Q点的运动速度为vcm/s．
如图1，当0＜t＜4时，由（1）知△PBM∽△QNM．
∴$\frac{NQ}{BP}$$\frac{MN}{MB}$，即$\frac{vt}{\sqrt{3}t}$=$\frac{4}{4\sqrt{3}}$，
∴v=1，
如图2，当t≥4时，同理可得v=1．
综上所述，Q点运动速度为1cm/s；
（3）PQ²=BP²+CQ^2．
证明如下：如图1，延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD，BQ，CD
∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ²=BP²+CQ²．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形知识和线段垂直平分线知识综合应用，利用时间t正确表示出题目中线段的长度是解题的关键．