Question

某超市购进一批单价为40元的商品．物价部门要求该种商品每件销售利润不得高于进价的50%．经过一段时间试销后，该种商品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足的对应关系如图所示．
（1）试判断求y与x的函数关系式，请求出函数关系式；
（2）若该超市每天的销售利润为W（元），请写出利润W与销售单价x之间的函数关系式；
（3）若商场每天进货总额不超过800元，则销售单价定为多少元时，每天所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（2）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；
（3）根据题意得出进货的取值范围以及定价取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．

解答：解：（1）设y与x的关系式为：y=kx+b，将（35，150），（40，100）代入得出：

35k+b=150 40k+b=100

，
解得：

k=-10 b=500

，
∴函数关系式为：y=-10x+500；

（2）利润W与销售单价x之间的函数关系式为：
W=（x-40）（-10x+500）
=-10x²+900x-20000
=-10（x-45）²+250；

（3）∵商场每天进货总额不超过800元，超市购进一批单价为40元的商品，
∴800÷40=20，
即进货量不超过20件，
当y=20时，20=-10x+500，
解得；x=48，
即x≥48，
∵物价部门要求该种商品每件销售利润不得高于进价的50%，
∴x≤40（1+50%）
∴x≤60，
∴48≤x≤60，
∵a=-10＜0，对称轴为：直线x=45，
∴当48≤x≤60时，只有x=48时，W取到最大值，
即W=-10（48-45）²+250=160（元）
答：销售单价定为48元时，每天所获利润最大，最大利润是160元．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性等知识，根据题意得出x的取值范围是解题关键．