Question

如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．
（1）求证∠APB=∠DAP+∠FBP；
（2）利用（1）的结论解答：
①如图2，AP₁、BP₁分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P₁的数量关系．
②如图3，AP₂、BP₂分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB=80°，求∠AP₂B的度数．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）①根据（1）的规律和角平分线定义解答；
②根据①的规律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP₂B=∠CAP₂+∠EBP₂，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．

解答：（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质），
即∠APB=∠DAP+∠FBP；

（2）∠P=2∠P₁；

（3）由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP₂B=∠CAP₂+∠EBP₂，
∵AP₂、BP₂分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP₂=

1

2

∠CAP，∠EBP₂=

1

2

∠EBP，
∴∠AP₂B=

1

2

∠CAP+

1

2

∠EBP，
=

1

2

（180°-∠DAP）+

1

2

（180°-∠FBP），
=180°-

1

2

（∠DAP+∠FBP），
=180°-40°，
=140°．

点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．