题目内容
如图，矩形ABCD中，点E、F分别从A、D两点同时出发，以相同的速度作直线运动．点E在线段AB上运动，点F沿射线CD运动，连结EF、AF、AC，EF分别交AD和AC于点O、H．
（1）求证：EO=OF；
（2）当点E运动到什么位置时，EF=AC，在备用图1中画出图形并说明理由；
（3）当点E运动到什么位置时，∠FAD=∠CAD，在备用图2中画出图形并说明理由，此时设四边形CDOH的面积为S1，四边形ABCF的面积为S2，请直接写出S1：S2的值．
（1）求证：EO=OF；
（2）当点E运动到什么位置时，EF=AC，在备用图1中画出图形并说明理由；
（3）当点E运动到什么位置时，∠FAD=∠CAD，在备用图2中画出图形并说明理由，此时设四边形CDOH的面积为S1，四边形ABCF的面积为S2，请直接写出S1：S2的值．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）由矩形的性质就可以得出∠EAD=∠FDA=90°，根据AE=DF就可以得出△AOE≌△DOF就可以得出结论；
（2）作EG⊥CD于G，由矩形的性质就可以得出△EGF≌△ADC就可以得出结论；
（3）如图3，由∠FAD=∠CAD就可以得出△ADF≌△ADC就可以得出DF=DC，得出AF=CD=AB而得出结论．
（2）作EG⊥CD于G，由矩形的性质就可以得出△EGF≌△ADC就可以得出结论；
（3）如图3，由∠FAD=∠CAD就可以得出△ADF≌△ADC就可以得出DF=DC，得出AF=CD=AB而得出结论．
解答：解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠DAB=∠ADC=∠B=∠BCD=90°．
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴EO=OF；
（2）点E在AB的中点．
理由：如图2，作EG⊥CD于G，
∴∠EGF=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴EG=AD．AE=DG．
∴FD=DG，
∴DG=
FG，
在Rt△ADC和Rt△EGF中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△EGF（HL），
∴FG=DC，
∴DG=
DC，
∴AE=
AB，
∴点E是AB的中点；
（3）点E与点B重合
理由：在△ADF和△ADC中
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴FD=CD，
∴AE=CD，
∴AE=AB，
∴点E与点B重合．
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△AOH∽△CBH，△AHB∽△
∴
=
=
，
∴S△AOH：S△CBH=1：4，S△OH：S△ABH=1：2．
设S△AOH=a，则S△ABH=2a，S△CBH=4a，
∴S△ABC=6a，S△ADC=6a，
∴S四边形ABCF=18a，S四边形CDOH=5a，
∴S四边形CDOH：S四边形ABCF=
，
即S1：S2=
．
∴AD=BC，AB=DC，∠DAB=∠ADC=∠B=∠BCD=90°．
在△AOE和△DOF中，
|
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴EO=OF；
（2）点E在AB的中点．理由：如图2，作EG⊥CD于G，
∴∠EGF=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴EG=AD．AE=DG．
∴FD=DG，
∴DG=
| 1 |
| 2 |
在Rt△ADC和Rt△EGF中，
|
∴Rt△ADC≌Rt△EGF（HL），
∴FG=DC，
∴DG=
| 1 |
| 2 |
∴AE=
| 1 |
| 2 |
∴点E是AB的中点；
（3）点E与点B重合
理由：在△ADF和△ADC中
|
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴FD=CD，
∴AE=CD，
∴AE=AB，
∴点E与点B重合．
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△AOH∽△CBH，△AHB∽△
∴
| AO |
| BC |
| OH |
| BH |
| 1 |
| 2 |
∴S△AOH：S△CBH=1：4，S△OH：S△ABH=1：2．
设S△AOH=a，则S△ABH=2a，S△CBH=4a，
∴S△ABC=6a，S△ADC=6a，
∴S四边形ABCF=18a，S四边形CDOH=5a，
∴S四边形CDOH：S四边形ABCF=
| 5 |
| 18 |
即S1：S2=
| 5 |
| 18 |
点评：本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等和运用相似三角形的性质是解答本题的关键．
练习册系列答案
小学课时特训系列答案
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