Question

如图，已知BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AB、AC，BC=4，tanB=2，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE∥BC交AC延长线于E点．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：证明题

分析：（1）连结OD，根据圆周角定理由BC为⊙O的直径得到∠BAC=90°，再根据角平分线定义得到∠CAD=45°，则利用圆周角定理得到∠DOC=2∠DAC=90°，即OD⊥BC，由于DE∥BC，所以OD⊥DE，则可根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；
（2）作CF⊥DE于F，易得四边形ODFC为正方形，则OC=OD=CF=DF=2，由BC∥DE，根据平行线的性质得∠ACB=∠E，于是根据等角的余角相等得到∠ECF=∠B，则tan∠ECF=tanB=2，在RtCEF中，利用正切的定义可计算出EF=4，则DE=DF+EF=6，然后根据扇形的面积公式和S_阴影部分=S_梯形ODEC-S_扇形DOC进行计算．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：作CF⊥DE于F，如图，则四边形ODFC为正方形，
∵BC=4，
∴OC=OD=CF=DF=2，
∵BC∥DE，
∴∠ACB=∠E，
而∠E+∠ECF=90°，∠ACB+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B，
∴tan∠ECF=tanB=2，
在RtCEF中，tan∠ECF=

EF

CF

=2，
∴EF=2CF=4，
∴DE=DF+EF=6，
∴S_阴影部分=S_梯形ODEC-S_扇形DOC
=

1

2

×（2+6）×2-

90•π•22

360

=8-π．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．