Question

2．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，3为半径的半圆，直线AB：y=x+b与x轴交于点P（x，0），若直线AB与半圆弧有公共点，则x值的范围是（　　）

• A． -3≤x≤3$\sqrt{2}$
• B． -3≤x≤3
• C． -3$\sqrt{2}$≤x≤3
• D． 0≤x≤3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作OH⊥AB于H，如图，则OP=|x|，∠OPH=45°，利用等腰直角三角形的性质得OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x|，根据题意可判断直线AB与圆相交或相切，所以$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x|≤3，然后解绝对值不等式即可，直线经过点M时OP的值即可．

解答 解：作OH⊥AB于H，如图，
∵直线AB：y=x+b，
∴tan∠OHB=$\frac{OB}{OP}$=1，
∴∠OPH=45°
∵OP=|x|，
∴OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x|，
∵AB与⊙O有公共点，
∴OH≤3，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x|≤3，
当直线与半圆相切时，OP=3$\sqrt{2}$，直线经过M时，OP=3，
∴-3≤x≤3$\sqrt{2}$，
故选A．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．解决本题的关键是用P点的横坐标表示点O到直线AB的距离．