Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．
（Ⅰ）求证：MD=ME；
（Ⅱ）如图2，连OD，OE，当∠C=30°时，求证：四边形ODME是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形斜边上的中线性质得MA=MB，则∠A=∠MBA，再利用圆内接四边形的性质证明∠MDE=∠MED，于是得到MD=ME；
（2）先证明△OAD和△OBE为等边三角形，再证明四边形DOEM为平行四边形，然后加上OD=OE可判断四边形ODME是菱形．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，点M是AC的中点，
∴MA=MB，
∴∠A=∠MBA；
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠ADE+∠ABE=180°，
而∠ADE+∠MDE=180°，
∴∠MDE=∠MBA；
同理可得∠MED=∠A，
∴∠MDE=∠MED，
∴MD=ME；

（2）∵∠C=30°，
∴∠A=60°，
∴∠ABM=60°，
∴△OAD和△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AC，
同理可得OD∥BM，
∴四边形DOEM为平行四边形，
而OD=OE，
∴四边形ODME是菱形．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了菱形的判定．