Question

16．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E=60°，⊙O的半径为5，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用垂径定理的推论结合平行线的性质得出∠EDO=90°，进而得出答案；
（2）结合已知利用圆周角定理以及勾股定理得出AB的长．

解答 解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD=∠DAC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$，
∴DO⊥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；

（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，
∵BC∥DE，
∴∠ACB=∠E=60°，
∴∠M=60°，
∵⊙O的半径为5，
∴AM=10，
∴BM=5，则AB=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了切线的判定以及勾股定理、垂径定理推论等知识，正确作出辅助线是解题关键．