Question

7．四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的⊙O过点E．
（1）求证：四边形ABCD的是菱形；
（2）若CD的延长线与圆相切于点F，已知直径AB=4，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可；
（2）连接OF，过D作DH⊥AB于H，分别求出扇形BOE、△AOE、半圆O的面积，即可得出答案．

解答 （1）证明：
∵AE=CE，BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：连接OF，
∵CF为⊙O的切线，
∴∠OFC=90°，
∵AB=4，
∴OA=OB=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=4，
过D作DH⊥AB于H，

则DH=OF=2，
∠DAH=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAC=15°，
∴∠BOE=2∠BAC=30°，
∴S_扇形BOE=$\frac{30π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{3}$，S_△AOE=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴S_阴影=S_半圆O-S_△AOE-S_扇形BOE=$\frac{1}{2}×π×{2}^{2}$-1-$\frac{π}{3}$=$\frac{5}{3}$π-1．

点评 本题考查了扇形的面积，平行四边形的判定，菱形的判定和性质等知识点，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．