Question

12．若将正整数l、2、3、…98写在一起，则可以构成一个新的数字12345…91011…9798．
（1）这个新数是一个几位数？
（2）这个新数各个数位上的数字之和为多少？
（3）在黑板上写上数l、2、3、…98，每次擦去任意的两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作连续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，这个数是否可能为2016？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）前面1到9，都是一位数，故有9位，后面接下来从10到98每个数都是两位，总共有（98-9）×2=89×2=178位数，所以1到98总共要178+9=187位数；
（2）前面1到9位数，是1到9的和，后面接下来是10个1的和，再接下来是0到9的和，再接下来是10个2的和，再接下来是0到9的和，…，最后是10个9的和以及0到9的和，所以各个位上的数字之间和为10（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2-9×2=882；
（3）根据两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的，所以若干次后剩余数的差和98个数的和的奇偶性相同，根据1、2、3、…98的和是（1+98）×98÷2=4851是奇数，2016不是奇数，所以没有这种可能性．

解答 解：（1）9+（98-9）×2
=9+178
=187，
所以，这个新数是一个187位数；

（2）10（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2-9×2
=10×45×2-18
=900-18
=882；

（3）由于两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的，
所以若干次后剩余数的差和98个数的和的奇偶性相同，
因为1+2+3+…+98=（1+98）×98÷2=4851是奇数，
2016不是奇数，所以没有这种可能性．

点评 本题考查了学生对数的构成、对大数的认识以及分析能力；两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的是解（3）的关键．