Question

2．⊙O的两条弦AB，CD相交于点E．
（1）如图，若AB是⊙O的直径，AB⊥CD，且AE=2，CD=8，求⊙O的半径．
（2）若AB=CD，且AB=8，AE=5，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据垂径定理求出CE的长和∠OEC的度数，设OC=OA=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）连接AC、BD，设CE=x，由AE=5、AB=CD=8得BE=3、DE=8-x，证△ACE∽△DBE得$\frac{AE}{DE}=\frac{CE}{BE}$，即$\frac{5}{8-x}=\frac{x}{3}$，解之可得．

解答 解：（1）如图1，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=4，∠OEC=90°，
设OC=OA=x，则OE=x-2，
根据勾股定理得：CE²+OE²=OC²，
即4²+（x-2）²=x²，
解得x=5，
所以⊙O的半径为5；

（2）如图2，连接AC、BD，

设CE=x，
∵AE=5，AB=CD=8，
则BE=3，DE=8-x，
∵∠AEC=∠DEB，∠BAC=∠CDB，
∴△ACE∽△DBE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{CE}{BE}$，即$\frac{5}{8-x}=\frac{x}{3}$，
解得：x=3或5，
∴DE=3或5．

点评 本题主要考查垂径定理、勾股定理、垂径定理及相似三角形的判定与性质和解一元二次方程的能力，熟练掌握垂径定理和圆周角定理得出两三角形相似是解题的关键．