题目内容
3．
我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．
分析 （1）易得点A、B的坐标，用交点式设出二次函数解析式，把D坐标代入即可．自变量的取值范围是点A、B之间的数．
（2）设出所求函数解析式，让它与二次函数组成方程组，消除y，让跟的判别式为0，即可求得一次函数的比例系数k．
解答 解：（1）根据题意可得：A（-1，0），B（3，0），
则设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0），
又∵点D（0，-3）在抛物线上，
∴a（0+1）（0-3）=-3，解之得：a=1
∴y=x2-2x-3，
自变量范围：-1≤x≤3
（2）设过点D（0，-3），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3（k≠0），
由题意可知方程组 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$只有一组解
即kx-3=x2-2x-3有两个相等实根，
∴k=-2，
∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程的根的判别式、二元二次方程组等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用 转化的思想思考问题，把相切问题转化为方程组 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$只有一组解的问题，属于中考常考题型．
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14．
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如图，矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE向右平移得到△DCF，连接AF．若四边形AEFD为菱形，AF=4$\sqrt{5}$，BE：EC=3：2，则AD长为（ ）| A． | 3 | B． | $2\sqrt{3}$ | C． | 5 | D． | $2\sqrt{5}$ |
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