题目内容
9．
如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F，则下列结论正确的有（ ）①∠CBD=∠CEB；②$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$；③点F是BC的中点；④若$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{2}$，tanE=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$．
| A． | ①② | B． | ③④ | C． | ①②④ | D． | ①②③ |
分析 ①正确，运用圆周角定理以及等角的余角相等即可解决问题．
②正确，运用△EBC∽△BDC即可证明．
③错误，运用反证法来判定．
④正确，设BC=3x，AB=2x，得出OB、OD及OC、CD的值，运用$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{BC}$即可解决问题．
解答 证明：①∵BC⊥AB于点B，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
故①正确．
②∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴△EBC∽△BDC，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{DC}{BC}$，
故②正确，
③∵∠EBD=∠BDF=90°，
∴DF∥BE，
假设点F是BC的中点，则点D是EC的中点，
∴ED=DC，
∵ED是直径，长度不变，而DC的长度是不定的，
∴DC不一定等于ED，
故③是错误的．
④∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{2}$，
设BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴在Rt△CBO中，OC=$\sqrt{10}$x，
∴CD=（$\sqrt{10}$-1）x
∵由（2）知，$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$，∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{（\sqrt{10}-1）x}{3x}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
∵tanE=$\frac{BD}{BE}$，
∴tanE=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$．
故④正确．
故选：C．
点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时只有利用相似比计算相应线段的长．也考查了切线的判定与性质．
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