题目内容
18．
如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，填空：
①当$\widehat{BC}$的长为$\frac{\sqrt{3}}{3}$π时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；
②当$\widehat{BC}$的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π时，△ABC的面积最大，最大面积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
分析 （1）首先连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线；
（2）①AB是直径时，四边形ADBC是矩形；②△ABC是等边三角形时，△ABC的面积最大；
解答 （1）证明：连接OA．
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴AP是⊙O的切线，
（2）①连接AD，∵∠ADC=∠B=60°，CD是直径，
∴∠DAC=90°，∵AC=3，
∴AD=$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{3}$，OC=$\sqrt{3}$，
当AB是直径时，四边形ADBC是矩形，此时$\widehat{BC}$=$\frac{60π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$π．
②∵∠B=60°，
∴当BA=BC时，△ABC的面积最大，此时△ABC是等边三角形，
∴$\widehat{BC}$=$\frac{120π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×32=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
点评 本题考查切线的判定、矩形的判定．等边三角形的判定和性质、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
练习册系列答案
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6．一次函数y=kx+b不经过第二象限，则（ ）
| A． | k＞0，b＜0 | B． | k＞0，b≤0 | C． | k＜0，b＜0 | D． | k＜0，b≤0 |
13．
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如图，平行直线a，b被直线c所截，分别相交于点A，B，过点A作AC⊥AB，交直线于点C．若∠1=128°，则∠2的度数是（ ）| A． | 128° | B． | 90° | C． | 52° | D． | 38° |
