操作探究:已知矩形ABCD中.AB=4.BC=5.点E和F分别是AD和AB上一动点.折叠矩形ABCD.点A1为点A的对应点．(1)如图1.沿直线EF折叠矩形ABCD.点A1是矩形ABCD内一点.请作出△A1EF(要求:尺规作图.保留作图痕迹.不写作法)．(2)如图2.沿直线BE折叠矩形ABCD.当A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时.求CA1的长．拓展延伸:(3)去� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．操作探究：已知矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E和F分别是AD和AB上一动点，折叠矩形ABCD，点A₁为点A的对应点．
（1）如图1，沿直线EF折叠矩形ABCD，点A₁是矩形ABCD内一点，请作出△A₁EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）如图2，沿直线BE折叠矩形ABCD，当A的对应点A₁恰好落在∠BCD的平分线上时，求CA₁的长．
拓展延伸：
（3）去掉“BC=5”的条件，若沿直线BE折叠矩形后，落在∠BCD平分线上的点A₁有且只有一个时，求矩形的面积．
（4）把矩形ABCD沿直线EF折叠后，点A的对应点A₁落在矩形ABCD内（不包括边缘部分），直接写出DA₁的最小值．

分析（1）分别以A和A₁为圆心，大于AA₁长的一半为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交AD于E，交AB于F，连接A₁E和A₁F，则△A₁EF即为所求；
（2）过点A₁作A₁F⊥BC于F，设A₁F=CF=x，则BF=5-x，在Rt△A₁BF中，根据勾股定理得出A₁F²+BF²=A₁B²，进而得到x²+（5-x）²=4²，求得CF=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，最后在在等腰Rt△A₁CF中，求得CA₁即可；
（3）过点B作∠BCD的平分线的垂线，当点A₁落在垂足上时，点A₁有且只有一个，根据△A₁BC是等腰直角三角形，得到A₁B=A₁C=4，求得BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，据此求得矩形的面积；
（4）根据两点之间线段最短，以及A₁B=AB=4可得，当点B，A₁，D三点共线时，A₁D最短，在Rt△ABD中，根据勾股定理求得BD的长，即可得到DA₁的最小值．

解答解：（1）如图1所示，分别以A和A₁为圆心，大于AA₁长的一半为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交AD于E，交AB于F，连接A₁E和A₁F，则△A₁EF即为所求；

（2）如图2所示，过点A₁作A₁F⊥BC于F，

∵点A₁落在∠BCD的平分线上，
∴∠BCA₁=45°，
∴△A₁CF是等腰直角三角形，
设A₁F=CF=x，则BF=5-x，
由折叠可得，A₁B=AB=4，
∴Rt△A₁BF中，A₁F²+BF²=A₁B²，
即x²+（5-x）²=4²，
解得x₁=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$，x₂=$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，
即CF=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，
∴在等腰Rt△A₁CF中，CA₁=$\sqrt{2}$CF=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{14}}{2}$或$\frac{5}{2}\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{14}}{2}$；

（3）如图3所示，过点B作∠BCD的平分线的垂线，当点A₁落在垂足上时，点A₁有且只有一个，

此时，△A₁BC是等腰直角三角形，
∴A₁B=A₁C=4，
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴矩形的面积=4×4$\sqrt{2}$=16$\sqrt{2}$；

（4）如图4所示，根据两点之间线段最短，以及A₁B=AB=4可得，
当点B，A₁，D三点共线时，A₁D最短，

此时，Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴A₁D=$\sqrt{41}$-4，
即DA₁的最小值为$\sqrt{41}$-4．

点评本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意：设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程即可求出答案．