Question

14．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，当k=3或4时，△ABC是等腰三角形；当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）此题要分两种情况进行讨论，若AB=BC=5时，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC时，则△=0，列出关于k的方程，解出k的值即可；
（2）若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，AB²+AC²=25，再根据根与系数的关系求得k的值即可．

解答 解：（1）因为△=b²-4ac=[-（2k+3）]²-4×1×（k²+3k+2）=1＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
若AB=BC=5时，5是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的实数根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．
∵无论k取何值，△＞0，
∴AB≠AC，故k只能取3或4；
（2）根据根与系数的关系：AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
则AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC=25，
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
解得k=2或k=-5．
根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积3k+2＞0，解得k＞-$\frac{2}{3}$
∴k=2．
故答案为：3或4；2．

点评 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件