Question

5．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E，连结DE，下列五个结论：
①BD=DE；②△CDE是等腰三角形；③2DE²=CA•CE；④DE=AB•sinB；⑤$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△ABC}}$=cos²C．其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，BE⊥AC，根据等腰三角形三线合一的性质得出CD=BD，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出DE=DC=BD，即可判断①②正确；证得△DCE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出$\frac{CE}{BC}$=$\frac{DE}{CA}$，进一步得出2DE²=CA•CE，即可判断③正确；通过解直角三角形即可判断④错误；根据相似三角形的性质得出$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EC}{BC}$）²，又因为在RT△BEC中，sinC=$\frac{EC}{BC}$，即可判断⑤正确．

解答 解：连接AD，
∵AB为直径，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∵AB=AC，
∴DC=BD，
∴DE=DC=BD，故①②正确；
∵∠CED=∠ABD=∠ACD，
∴△DCE∽△ABC，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{DE}{CA}$，
∵BC=2DE，
∴2DE²=CA•CE，故③正确；
∵sinB=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=AB•sinB，
∵AD≠DE，
∴DE≠AB•sinB，故④错误；
∵△DCE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EC}{BC}$）²，
∵AB为直径，
∴∠CEB=90°，
∴sinC=$\frac{EC}{BC}$，
∴$\frac{{S}_{△DEC}}{{S}_{△ABC}}$=cos²C，故⑤正确；
所以正确的结论有①②③⑤4个，
故选D．

点评 本题考查了圆周角定理，直角三角函数，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．