题目内容
13．如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=$\frac{5}{2}$，直线y=$\frac{1}{2}$x-4经过B，C两点．（1）求该抛物线的关系式；
（2）若在对称轴右侧的抛物线上有一点P，过点P作PD⊥直线BC，垂足为点D，当∠PBD=∠ACO时，求出点P的坐标；
（3）如图2，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，连接AE，点F是线段CE上的动点，过点F作FG⊥x轴，交AE于H，垂足为点G，将△EFH沿直线AE翻折，得到△EMH，连接GM，是否存在这样的点F，使△GHM是等腰三角形？若存在，求出对应的EF的长度；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先求出点B坐标，在结合对称轴求出抛物线解析式即可；
（2）先求出直线BP的解析式，再联立抛物线，解方程组即可；
（3）设出点F坐标，表示点H坐标，进一步表示线段GH，HF，HM的长度，根据题意分：GH=GM，GH=HM，GM=NM，分类谈论即可．
解答 解：（1）∵直线y=$\frac{1}{2}x-4$过x轴上的点B，
∴点B坐标为（8，0），
∵抛物线与x轴交于点A，B两点且对称轴为：x=$\frac{5}{2}$，
∴点A坐标为（-3，0），
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{6}{x}^{2}-\frac{5}{6}x-4$；
（2）如图1
y=$\frac{1}{6}{x}^{2}-\frac{5}{6}x-4$，令x=0，解得，y=-4，
∴点C（0，-4），
可求：OC=4，0A=3，OB=8，
∵∠PBD=∠ACO
∴tan∠PBD=tan∠ACO=$\frac{3}{4}$，
∵∠DBx=∠ABC，
∴tan∠DBx=tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠PBx=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{1-\frac{3}{4}×\frac{1}{2}}$=2，
∴设直线BP：y=2x+n，
把点B（8，0）代入，解得：n=-16，
∴直线BP：y=2x-16，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-16}\\{y=\frac{1}{6}{x}^{2}-\frac{5}{6}x-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=2}\end{array}\right.$，
所以点P坐标为：（9，2）；
（3）如图2
由CE∥x轴交抛物线于点E，抛物线的对称轴是直线x=$\frac{5}{2}$，可得，点E（5，-4），
由A（-3，0），运用两点法可求直线AE的解析式为：y=-$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$，
设点F（m，4），
则点H（m，$-\frac{1}{2}m-\frac{3}{2}$），
∴GH=$\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$，HF=$-\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}$，
由题意可得：HM=HF=$-\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}$，
∠CEH=∠HEM，
∵tan∠CEH=$\frac{OC}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠CEM=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
由题意可证：∠GHM=∠CEM，
∴tan∠GHM=$\frac{4}{3}$，cos∠GHM=$\frac{3}{5}$，
当GH=HM时，GH=HF，
∴$\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$=$-\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}$，
解得：m=1，EF=5-1=4；
当GM=HM时，cos∠GHM=$\frac{\frac{1}{2}GH}{HM}$=$\frac{\frac{1}{4}m+\frac{3}{4}}{-\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得：m=$\frac{15}{11}$，此时EF=5-$\frac{15}{11}$=$\frac{40}{11}$，
当GH=GM时，cos∠GHM=$\frac{\frac{1}{2}HM}{GH}$=$\frac{-\frac{1}{4}m+\frac{5}{4}}{\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得：m=$\frac{7}{11}$，此时，EF=5-$\frac{7}{11}$=$\frac{48}{11}$．
点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会求交点坐标和解析式，会联立方程组并准确求解，会分类讨论等腰三角形是解题的关键．
如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA=AB成立．
已知如图：∠ABP=∠CBP，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠BAP+∠BCP=180°，求证：AB+BC=2BD．