Question

18．如图，E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若⊙O的直径为10cm，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明△BDE是等腰三角形，只要证明∠DBE=∠BED即可．
（2）连接OB、OD，只要证明△OBD是等边三角形即可解决问题．

解答 （1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CBD．
∵∠DBE=∠CBD+∠∠CBE，∠BED=∠ABE+∠BAD．
∴∠DBE=∠BED，
∴DB=DE，
∴△BDE是等腰三角形．

（2）连接OB、OD，则∠BOD=2∠BAD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=DE=5．

点评 本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．