Question

20．如图所示铁路上A、B两站（视为两个点）相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=15km，DB=10km．现要在A．B之间建一个土特产收购站E，当AE=xkm时
（1）求CE+DE的长．（用含x的式子表示）
（2）E在什么位置时CE+DE的长最短．
（3）根据上面的解答，求$\sqrt{{x}^{2}+9}$$+\sqrt{（24-x）^{2}+16}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理分别用含x的代数式来表示CE和DE，二者相加即可得出结论；
（2）连接CD，由CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B可得出△CAE∽△DBE，根据相似三角形的性质可得出$\frac{AE}{BE}=\frac{CA}{DB}$，找出AE长度即可找出E点的位置；
（3）过点C作CC′∥AB，延长DB交CC′与点C′，结合（2）的结论即可得出结论．

解答 解：（1）∵AE=x，AB=25，
∴BE=25-x．
由勾股定理可得：
CE=$\sqrt{A{C}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{225+{x}^{2}}$，DE=$\sqrt{D{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{100+（25-x）^{2}}$．
∴CE+DE=$\sqrt{225+{x}^{2}}$+$\sqrt{100+（25-x）^{2}}$．
（2）连接CD，如图1所示．

当点E为AB与CD的交点时，CE+DE最短．
∵CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
∴∠CAE=∠DBE=90°，
又∵∠CEA=∠DEB，
∴△CAE∽△DBE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{CA}{DB}$，即$\frac{x}{25-x}=\frac{15}{10}$，
解得：x=15．
∴当点E离点A15km时，CE+DE的长最短．
（3）过点C作CC′∥AB，延长DB交CC′与点C′，如图2所示．

CD=$\sqrt{CC{′}^{2}+DC{′}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}+（AC+DB）^{2}}$．
结合（2）的结论可知：
当$\frac{x}{24-x}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$时，$\sqrt{{x}^{2}+9}$$+\sqrt{（24-x）^{2}+16}$最小．
解$\frac{x}{24-x}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$得，x=$\frac{72}{7}$．
此时$\sqrt{{x}^{2}+9}$$+\sqrt{（24-x）^{2}+16}$=$\sqrt{2{4}^{2}+（3+4）^{2}}$=25．

点评 本题考查了最短线路问题、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）利用勾股定理找出线段的长；（2）由相似三角形的性质找出E点的位置；（3）由勾股定理得出结论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用构建直角三角形，结合勾股定理得出结论．