题目内容

8．在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的
点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．
【感知】（1）如图①，当点H与点C重合时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．
【探究】（2）如图②，当点H为边CD上任意一点时，（1）中结论是否仍然成立？不需要说明理由．
【应用】（3）在图②中，当DF=3，CE=5时，直接利用探究的结论，求AB的长．

分析 [感知]连接AF，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论FD=FG．
[探究]连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．
[应用]设AB=x，则BE=EG=x-5，FE=x-2，FC=x-3，在RT△ECF中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出答案．

解答 [感知]解：猜想FD=FG．
证明：如图1，连接AF，
由折叠的性质可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
故可得FG=FD．

[探究]解：猜想FD=FG．
证明：如图2，连接AF，
由折叠的性质可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
故可得FG=FD．

[应用]设AB=x，则BE=EG=x-5，FE=x-2，FC=x-3，
在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即（x-2）2=（x-3）2+52，
解得x=15．
即AB的长为15．

点评 本题考查了翻折变换及正方形的性质，掌握△AGF≌△ADF始终不变是解答本题的关键，另外在进行结论的应用时，得出Rt△EFC的各边后运用勾股定理进行求解时，要细心避免出错．

练习册系列答案
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16．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+1与抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-bx+l交于不同的两点M、N（点M在点N的左侧）．
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2b+1，$\frac{b+3}{2}$） （用b的代数式表示）
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（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD=CB．
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