Question

10．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，弦CD⊥AB于点M，F为DC延长线上一点，连接CE、AD、AF，AF交⊙O于E，连接ED交AB于N．
（1）求证：∠AED=∠CEF；
（2）当∠F=45°，且BM=MN时，求证：AD=ED；
（3）在（2）的条件下，若MN=1，求FC的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接BE，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AEB=∠BEF=90°，又由AB⊥CD于，可得：$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，继而证得∠CMB=∠BMD，则可证得结论；
（2）连接AD，BD，根据已知条件得到∠ADE=∠ABE=∠EAB=45°，证得CD垂直平分BN，得到BD=ND，由等腰三角形的性质得到∠DBN=∠DNB，推出△AEN∽△ADE，根据相似三角形的性质得到∠ANE=∠DAE，等量代换得到∠DAE=∠AED，于是得到结论；
（3）设AB=2R，根据等腰直角三角形的性质得到AE=BE=$\sqrt{2}$R，求得AN=AE=$\sqrt{2}$R，得到R=2+$\sqrt{2}$，解得BE=2$\sqrt{2}$+2，等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）连结BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠BEF=90°，
又∵AB⊥CD于M，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠CEB=∠BED，
∴∠AED=∠AEB-∠BED=∠BEF-∠CEB=∠CEF，
即：∠AED=∠FEC；

（2）连接AD，BD，
∵AB为⊙O直径，
∴AE⊥BE，
∵∠F=45°，
∴∠EHF=45°，
∴∠BHM=∠EHF=45°，
∵AB⊥CD，
∴∠EBA=45°，
∴∠EAB=45°，
∴∠ADE=∠ABE=∠EAB=45°，
∵BM=MN，
∴CD垂直平分BN，
∴BD=ND，
∴∠DBN=∠DNB，
∴∠AED=∠ABD=∠ANE=∠BND，
∵∠EAB=∠ADE=45°，
∠AEN=∠AED，
∴△AEN∽△ADE，
∴∠ANE=∠DAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE；

（3）由（2）知，△ABE，△EFH，△BNH是等腰直角三角形，
∵MN=1，
∴BN=2，BH=$\sqrt{2}$，
设AB=2R，
∴AE=BE=$\sqrt{2}$R，
∵∠AEN=∠ANE，
∴AN=AE=$\sqrt{2}$R，
∴$\sqrt{2}$R+2=2R，
∴R=2+$\sqrt{2}$，
∴BE=2$\sqrt{2}$+2，
∴EF=EH=BE-BH=2+$\sqrt{2}$，
∵∠AED=∠FEC，
∵∠FCE=∠EAD，
∴∠FEC=∠FCE，
∴CF=EF=2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证得△ABE，△EFH，△BNH是等腰直角三角形是解题的关键．