Question

3．如图，在四边形ABCD中，AD、BD相交于点F，点E在BD上，且$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{ED}$=$\frac{AC}{AD}$．
（1）∠1与∠2相等吗？为什么？
（2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，得到△ABC∽△AED，推出∠BAC=∠EAD，即可得到∠1=∠2；
（2）由$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，根据两边对应成比例且夹角相等得到△ABE∽△ACD．

解答 解：（1）∠1与∠2相等．
在△ABC和△AED中，
∵$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠1=∠2．

（2）△ABE与△ACD相似．
由$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
在△ABE和△ACD中，
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，∠1=∠2，
∴△ABE∽△ACD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．